Анализ рядов динамики, установление тенденции и колеблемости.


 

В связи с тем, что основная тенденция в развитии некоторых явлений затушевывается периодическими колебаниями отдельных факторов, важное значение в анализе динамических рядов имеют приемы выявления общей тенденции. Тенденция в рядах динамики - это закономерность, которая проявляется в изменении уровней ряда динамики. Выявление основной тенденции в статистике называется выравниванием временного ряда или изучением тренда. Выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней расчетными, которые должны показать направление изменения уровней ряда динамики. Существует несколько приемов.

 Первый прием – укрупнение периодов. Уровни исходного динамического ряда объединяются за определенные отрезки (кварталы, трехлетия, пятилетки). При этом периоды укрупнения в каждом отдельном случае должны быть экономически обоснованы. В этом случае будем иметь расчетные уровни . Если наблюдается следующая зависимость <<…<, то в этом случае наблюдается тенденция роста. Если же у нас >>…> - говорят о динамике спада. Если - тенденция стабильная.

Второй прием – сглаживание ряда динамики при помощи скользящей средней. Суть приема состоит в том, что при расчете средней интервал систематически сдвигается на одну дату. Чем длиннее интервал скольжения, тем в большей степени выравнивается ряд в результате осреднения исходных уровней.

Третий прием – выравнивание ряда динамики по среднему абсолютному приросту. Применяется для выравнивания рядов, характеризующихся сравнительно равными абсолютными изменениями. При расчетах используются только 2 крайних значения.

Четвертый прием – выравнивание ряда динамики способом наименьших квадратов. Метод состоит в отыскании  аналитической формулы кривой, которая наиболее точно отражала бы основную тенденцию изменения уровней в течение периода.

Метод скользящей средней по укрупненным периодам, которые включают одинаковое число уровней ряда, исчисляется средняя для первого периода. Для исчисления средней второго периода первый уровень ряда отбрасывается и присоединяется последующий уровень.

Первая скользящая средняя равна:

                                                      (9)

где m-период сглаживания.

Последующие скользящие средние рассчитываются аналогично.        


Таблица 3 – Динамика себестоимости 1ц молока в хозяйствах Орловского района за 1995-2003г.г.

 

Годы

Себестоимостьцмолокаруб

Средняязагода

Вырав-е по трехлетней скользящей средней

Сумма за 3 года

Трехлетняя средняя

1995

103

 

-

-

1996

115

120,0

360

120,0

1997

142

 

392

130,7

1998

135

 

445

148,3

1999

168

173,3

520

173,3

2000

217

 

658

219,3

2001

273

 

776

258,7

2002

286

295,0

885

295,0

2003

326

 

-

-

 

Проведя анализ по методу укрупнения периодов ряда динамики, установили среднюю урожайность зерновых культур по каждому трехлетию:

Y1=120,0 руб. Y2=173,3 руб.; Y3=295,0 руб.

Наблюдаем закономерность Y1 Y2 Y3 , т.е. наблюдается тенденция роста себестоимости 1ц молока.

Недостатки данного метода:

1)  не дает возможности следить за ходом изменения уровней за счет каждого периода;

2)  уничтожение динамического ряда;

3)  для конкретных выводов необходимо построить длинный динамический ряд, что невсегда возможно.

Проводя анализ по методу скользящей средней, рассчитали скользящие средние повыше указанной формуле m = 3. Сравнивая скользящие средние установили, что за период 1995 – 2003 г.г. урожайность зерновых имеет тенденцию роста, как было определено по методу укрупнения периодов.

Эффект сглаживания, устраняющего колебания уровней за счёт случайных причин, хорошо виден также при графическом изображении фактических и сглаженных уровней.

 

Недостатки метода скользящей средней является то, что сглаженный ряд «укорачивается» по сравнению с фактическим с двух концов при нечетном m на (m-1)/2 с каждого конца, а при чётном- на m/2 с каждого конца. Применяя этот метод надо помнить, что он сглаживает лишь случайные колебания. Кроме того, этот метод сглаживания, как и укрупнение интервалов, является механическим, эмпирическим и не позволяет выразить общую тенденцию изменения уровней в виде математической модели.

Аналитическое выравнивание динамических рядов состоит в определении математического уравнения, отражающего тенденцию динамического ряда. Аналитическое выравнивание ряда позволяет получить аналитическую модель тренда.

Тренд – это математическое уравнение, выражающее основную тенденцию динамики ряда. Аналитическое выравнивание ряда проводится по следующим этапам:

1)        На основе теоретического анализа сущности изучаемого явления устанавливают однородные этапы развития и характер динамики в них.

2)        На основе содержательного анализа и специальных расчетов устанавливается наличие тенденции динамики.

3)        Исходя из характера динамики выбирается форма выражения аналитического тренда.

Аналитическое выравнивание по среднегодовому абсолютному приросту (снижению). Этот метод основан на предположении, что каждый последующий уровень ряда динамики отличается от предыдущего на величину среднего абсолютного прироста. Тренд имеет вид:

,                  (10)

где - расчетное выравнивание уровней ряда

- начальный уровень ряда динамики

- среднегодовой абсолютный прирост

- порядковый номер цепного относительного прироста.

А= (326-103)/(9-1) = 27,88 руб.

Таким образом, 103, 27,88, тогда уравнение тренда имеет вид:

=103 + 27,88t

Подставив в данное уравнение значение t для каждого года, рассчитаем теоретическую себестоимость 1ц молока. Исходные расчетные  данные представим в таблице.

Таблица 4 – Динамика себестоимости 1ц молока в хозяйствах Орловского района за 1995-2003 годы.

 

Годы

Себестоимость 1ц молока, руб.

t

t

1995

103

0

0,00

103,0

1996

115

1

27,88

130,9

1997

142

2

55,76

158,8

1998

135

3

83,64

186,6

1999

168

4

111,52

214,5

2000

217

5

139,40

242,4

2001

273

6

167,28

270,3

2002

286

7

195,16

298,2

2003

326

8

223,04

326,0

 

Таким образом, проведя аналитическое выравнивание по среднегодовому приросту (снижению), установили, что в изучаемом периоде себестоимость 1ц имеет тенденцию роста  ежегодно в среднем на 27,88 руб.

 

 

Недостатком метода выравнивания по среднегодовому абсолютному приросту является то, что результат зависит от двух крайних значений, на формирование которых могут оказывать влияние случайные факторы, поэтому данный способ применяется редко.

Чаще всего используется аналитическое выравнивание по уравнению прямой линии, т.к. при нём сохраняется сумма исходного ряда.

Аналитическое выравнивание по уравнению прямой линии.

При использовании этого способа необходимо подобрать математическое уравнение, уровни которого рассматриваются как функция времени t. Выдвигается требование:

min           (11) 

Уравнение прямой линии имеет вид:

                                   (12)

где - выровненное теоретическое уравнение

- параметр уравнения, характеризующий средний уровень за изучаемый период

- параметр уравнения, характеризующий среднегодовой абсолютный прирост

- обозначение времени

По таблице необходимо провести выравнивание ряда динамики себестоимости 1ц молока по уравнению прямой линии. Для определения параметров уравнения необходимо решить систему двух  нормальных уравнений:

                                      (13)

Так как ∑t =0 система упрощается 

                                                  (14)

                                                      (15)

Таблица 5– Динамика себестоимости 1ц молока и расчет величин

 

Годы

Себестоимостьцмолокаруб

Расчетные величины

t

t2

1995

103

-4

16

-412

78,11

8669

24,89

619,5

1996

115

-3

9

-345

107,61

6579

7,39

54,6

1997

142

-2

4

-284

137,11

2928

4,89

23,9

1998

135

-1

1

-135

166,61

3734

-31,61

999,2

1999

168

0

0

0

196,11

790

-28,11

790,2

2000

217

1

1

217

225,61

436

-8,61

74,1

2001

273

2

4

546

255,11

5912

17,89

320,1

2002

286

3

9

858

284,61

8080

1,39

1,9

2003

326

4

16

1304

314,11

16871

11,89

141,4

Итого

1765

0

60

1749

1764,99

54001

0,01

3024,9

 

Решим систему двух  нормальных уравнений:

                                                            (16)

Уравнение тренда будет иметь вид: = 196,11 + 29,5 t

Коэффициент b=29,5, показывает на сколько в среднем ежегодно изменяется уровень ряда динамики.

По этому уравнению рассчитывают теоретический уровень урожайности в таблице, после чего можно сказать, что за период с 1995 года по 2003 год в результате колебаний наблюдается тенденция увеличения себестоимости 1ц молока ежегодно в среднем за год на 29,5 по Орловскомувскому району Орловской области. Средний многолетний уровень себестоимости за этот период составил 196,11 руб.

На основаниях данных таблицы 5 покажем на графике фактическую и выровненную себестоимость 1ц молока за изучаемый период.

 

 

Найдем основные показатели колеблемости уровня себестоимости 1ц молока:

Общая дисперсия. Она характеризует общую колеблемость себестоимости, под влиянием всех факторов, обусловивших вариацию:

,                                       (17)

при                                           (18)

у2 = 54001 : 9 = 6000,11 (руб.2)

Остаточная (случайная) дисперсия характеризует отклонение фактической себестоимости 1ц молока от теоретической за счет неисследуемых в данной модели факторов:

                                       (19)

у2 = 3024,9 / 9 = 336,1(руб.2)

Коэффициент случайной дисперсии

                                           (20)

а = 336,1 / 6000,11  100% = 5,6%

Следовательно 5,6 % колеблемости себестоимости 1ц молока обусловлены неисследуемых в данной модели случайными факторами.

Фактическая дисперсия

                                      (21)

2факт. = 6000,11 – 336,1 = 5664,07 (руб.2)

 показывает отклонение фактической себестоимости 1ц молока от расчетной за счет основных факторов затрат.

Коэффициент корреляции

                                             (22)

R =  1-0,056 = 0,97

Коэффициент детерминации

D = R2  100%                                                (23)

D = 0,972  100% = 94,3 %

показывает, что 94,3 % колеблемости себестоимости 1ц молока обусловлены основными факторами затрат.

Сумма коэффициентов детерминации и случайной дисперсии должна быть равна 100 %, так как  рассматривались только случайные и основные факторы, влияющие на себестоимость 1ц молока.

Под колеблемостью уровня ряда понимают отклонения фактических уровней от теоретически рассчитываемых по уравнению тренда.

Коэффициент колеблемости

,                                            (24)

где

                                               (25)

у = 77,46 (руб.)

V = 77,46 : 196,11  100% = 39,5 %

В данном случае колеблемость высокая, так как ее значение находится в пределах от 20% до 40%.

Колеблемость – это обратное свойство устойчивости. Для измерения устойчивости определяют коэффициенты устойчивости.

Коэффициент устойчивости  снижения (роста)  себестоимости 1ц молока

                                                   (26)

S = 100% - 39,5% = 60,5 %

Коэффициент колеблемости и коэффициент устойчивости показывают, что себестоимость 1ц молока в период 1995-2003г.г. в среднем по району имеет  тенденцию роста.

Оценка устойчивости динамики.

Устойчивость динамики - это устойчивост

Предыдущие материалы: Следующие материалы:
Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.